SEE OPT Maths: Transformation Of Trigonometric Ratios

1. Prove that:  2cos70°. cos20° = cos50°
Proof: Here, 
LS    = 2cos70°. cos20°        
         = cos (70° + 20°) + cos(70° - 20°)
         = cos90° + cos50° 
         = 0 + cos50°
         = cos50°
         =RS .

Proved.

 2. Prove that:

⁡cosA-cos5Asin 5A - sinA = tan 3A

Proof: Here,
LHS = cosA-⁡cos5Asin 5A -⁡sinA
       = 2sin(A+5A2) sin(5A-A2)2cos (5A+A2)⁡sin(5A-A2)
       = sin3ACos 3A
       = tan 3A
       = RHS.

Proved.

3. Prove that:

sinθ2 + sinθ1+cosθ2 +cosθ = tanθ2  

Proof: Here,
L.H.S = sinθ2 + sinθ1+cosθ2 + cosθ
= sinθ2 + 2sinθ2 cosθ21+cosθ2 + 2cos 2θ2 -1
= sin θ2 ( 1+2cosθ2)cosθ2 (1+ 2cos θ2 )
= tan θ2
= RHS

Proved.

4. Prove that : ⁡ ⁡cos20°-sin20° cos20°+⁡sin20°   = tan25°
Proof: Here,
LHS = ⁡cos20°-sin20°cos20°+⁡sin20°    .
         = cos20°-sin(90°-70°)cos20°+ sin(90°-70°)
        = cos20°-⁡cos 70°cos20°+ ⁡cos 70°
        = 2sin(20°+70°2) ⁡sin(70°-20°2)2⁡cos (20°+70°2) ⁡cos (20° - 70°2)
        = 2sin45°.⁡sin25 °⁡2cos45°. ⁡cos (-25°)
        =  sin25 °⁡cos25 °
        = tan ⁡25°
        = RHS

Proved.

5. If sin θ = 35   , find the value of cos 2θ .
Solution: Here,
sin θ = 35  
We know that,
cos 2θ = 1- 2sin² θ
           = 1-2 (35)²
           = 1- 2 × 925
          = 725.
Thus, the value of cos 2θ is 725 .

6. Prove that:
 cos40°-sin30°sin60°-cos50°   = tan 50° 
Proof: 
LHS = cos40°-sin30°sin60°-cos50°   = tan 50° 
=  ⁡ cos(90°-50°)-sin30°⁡ sin(90°-30°)- cos50°
=  sin 50°- sin 30°cos 30°-cos50°
= 2cos (50°+30°2) sin(50°-30°2)2sin (30°+50°2) sin (50°+30°2)
= cos40°⁡sin10°sin40° sin10°
= cot 40°
= cot ⁡(90°-50°)
= tan 50°
= RHS

Proved.

7. Prove that:

12 (cos 2θ - cos 8θ) = sin 5θ.sin 3θ

Proof: Here,
LHS=  12 (cos 2θ - cos 8θ)
       =  12 ×2 sin(2θ+8θ2) sin(8θ-2θ2)
       =  sin 5θ. sin3θ
       =  RHS.

Proved.

8. Prove that:

cosec2θ - cot2θ = tanθ

Solution: Here,
LHS= cosec 2θ - cot 2θ
       = 1⁡sin2θ - cos2θsin2θ
       = 1-cos2θsin2θ
       = 2 sin 2θ2sinθcos θ ⁡ 
       = sinθ⁡cos θ
       = tan θ
       = RHS

Proved.

9. Prove that:  

2cos70°. cos20° = cos50° 

Proof: Here, 
LHS   = 2cos70°. cos20°        
           = cos(70° + 20°) + cos(70° - 20°)
           = cos90° + cos50° 
           = 0 + cos50°
           = cos50°
           = RHS .

Proved.

 
10. Prove that:  

sin 20° sin 30° sin 40° sin 80° = √3/16

Proof: Here,
LHS = sin 20° sin 30° sin 40° sin 80°
        = sin 20° 12 sin 40° sin 80°
       = sin 20°× 12 × ( 12 × 2 sin 80° sin 40° )
       = 14 sin 20° {cos ( 80°- 40°)- cos ( 80°+ 40°)}
       = 14 sin 20°{ cos 40° - cos 120°}
       = 14 sin 20° { cos 40°+12 }

      = 14 sin 20° cos 40° + 18 sin 20°
       = 18 2 cos 40° sin 20° + 18 sin 20°
       = 18 { sin (40° + 20°) - sin (40° - 20°) } + 18  sin 20°  
       = 18 {sin⁡60° - sin 20° } + 18 sin 20°
       = 18 √32 -sin⁡sin20°+ 18 sin⁡sin20° 
       = √316 - 18 sin⁡sin20° + 18 sin⁡sin20°
       = √316
       = RHS .

Proved.

11. Prove that:  

8 cos 10°. cos 50° cos 70°  = √3

Proof: Here,
LHS =  8 cos 10°. cos 50° cos 70°  
        = 4 cos 10°(2 cos 50°. cos 70°)  
        = 4 cos 10°[cos (50°+ 70°) + cos(50° - 70°)]
        = 4 cos 10° × -12 + 2 (2cos 10° cos 20°) 
        = -2 cos 10° + 2[cos (10° + 20°) + cos(10°- 20°)]
        = - 2 cos 10° + 2 cos 30° + 2cos 10° 
        = 2 cos 30° 
        =2⨉ √32
        = √3
        = RHS.

Proved .  

12. Prove that:
4 cos(60^o + A). cos(60^o - A) . cosA = cos3A.               Proof:               Here, 
LHS = 4 cos(60^o + A). cos(60^o - A) . cosA
         = 2[2 cos(60^o + A). cos(60^o - A) ] cosA
         = 2cosA[cos(60 + A + 60 - A) + cos(60 + A - 60-A)]
         = 2cosA[ cos120 + cos2A]
         = 2cosA[ -1/2 + 2cos²A - 1]
         = cosA [ -1 + 4cos²A - 2]
         = 4 cos³A - 3cosA
         = cos3A
         = RHS.

Proved.

13. Prove:
4 cos(60^o + A). sin(30^o + A) . cosA = cos3A
Proof: Here, 
LHS = 4 cos(60^o + A). sin(30^o + A) . cosA
         = 2[2 cos(60^o + A). sin(30^o+ A) ] cosA
         = 2cosA[sin(60^o + A + 30^o + A) - sin(60^o + A - 30^o-A)]
         = 2cosA[ sin(90^o + 2A) - sin30]
         = 2cosA[cos 2A-1/2]
         = 2cosA[ -1/2 + 2cos²A - 1]
         = cosA [ -1 + 4cos²A - 2]
         = 4 cos³A - 3cosA
         = cos3A
         = RHS.

Proved.

14. Prove that: 
4 sinA sin(60^o +  A). sin(60^o - A) = sin3A.
Proof: Here, 
LHS = 4 sinA sin(60^o +A). sin(60^o - A)
         = 2sinA[2 sin(60^o + A). sin(60^o+ A) ]
         = 2sinA[cos(60^o + A - 60^o + A) - cos(60^o + A + 60^o-A)]
         = 2sinA[ cos 2A - cos120^o]
         = 2sinA[cos 2A +1/2]
         = 2sinA[1 -  2sin²A  + 1/2]
         = sinA [ 2 - 4sin²A + 1]
         = 3 sinA - 4 sin³A 
         = sin3A
         = RHS.

Proved.

15. Without using calculator, find the value of : 2sin15^o.sin105^o .
Solution: Here,
   2sin15^o .sin105 ^o
= cos(15^o - 105^o) - cos(15^o + 105^o)
=  cos(- 90^o) - cos120^o
=  cos90^o - cos120^o
=  0 -(- 12 )
=    12 

16. Without using calculator ,
 find the value of : cos15^o.cos105 ^o .
Solution: Here,
    cos15^o .cos105^o 
=   12 (2cos15^o .cos105 ^o)
=   12 [cos(15^o+105^o) + cos(15^o - 105^o)]
=   12 [ cos120^o + cos90^o]
=   12 [ - 12  + 0]
= - 14 .

17. Prove that : 
4(cos³20^o + sin³50^o) = 3√3 cos10^o.
Proof: Here,
LHS = 4(cos³20^o + sin³50^o)
        = 4cos³20^o + 4sin³50^o
        = cos(3.20^o) + 3cos20^o + 3 sin50^o - sin(3.50^o)
        =  cos60^o + 3cos20^o + 3 sin50^o - sin150^o 
        = 12  +3cos20^o + 3 sin50^o  - 12 
       = 3(cos20^o +  sin50^o)
      = 3(sin70^o +  sin50^o)
       = 3 (2 sin60^o.cos10^o)                    [ Using formula of sinC + sinD.]
       = 3 (2 .√32 .cos10^o)
      = 3√3 cos10^o.
      = RHS. 

Proved.

18. Prove that: 
4(cos³10^o + sin³20^o) = 3√3 cos40^o.
Proof: Here,
LHS = 4(cos³10^o + sin³20^o)
        = 4cos³10^o + 4sin³20^o
        = cos(3.10^o) + 3cos10^o + 3 sin20^o - sin(3.20^o)
        =  cos30^o + 3cos10^o + 3 sin20^o - sin60^o 
        = √32  +3cos10^o + 3 sin20^o  - √32 
       = 3(sin80^o +  sin20^o)
       = 3 (2 sin50^o.cos30^o)                    [ Using formula of sinC + sinD.]
       = 3 (2 .√32 .sin50^o)
      = 3√3 cos40^o.
      = RHS. 

Proved.

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