SEE Opt Maths: Trigonometric Equations

1. Solve: 

sin²θ - sin θ + 1 = 0 [0° ≤ θ 90°]

Solution: 
Here,
sin²θ - sin θ + 14 = 0
⇒   4sin² θ - 4sin θ + 1 = 0
⇒   (2sin θ - 1)² = 0
⇒   2sin θ - 1 = 0
⇒   2sin θ = 1 
⇒   sin θ = 12
⇒  sin θ = sin30°    [Since, 0° ≤ θ ≤  90°]
∴   θ = 30°.
Thus, the value of θ is 30°.

2. Solve: 

√3  tan⁡  θ +3  = 0 [0° ≤ θ ≤ 180°]

Solution: 
Here, 
    √3  tan⁡  θ +3  = 0
⇒  √3  tan⁡  θ   = -3
⇒   tan⁡  θ   =  - √3
⇒   tan θ  =   tan (180°-60°)    [Since, 0° ≤ θ ≤ 180°]
 ∴ θ  =  120° 
Thus, the value of θ is 120° .

3. Solve:

4-3 sec²θ = 0 [0° ≤ θ 90°]

Solution: Here, 
4-3 sec²θ = 0
⇒   4 = 3 sec²θ 
⇒   43 = sec²θ
⇒   sec θ = 2/√3
⇒   sec θ =  sec 30° [∵  θ ≤90°]   
 ∴ θ =  30°
 Thus, value of θ =   30°.
 
4. Solve:

1- tan²θ =  -2   [0° ≤ θ 90°]

Solution: Here, 
      1- tan²θ =  -2       
⇒   3 = tan²θ
⇒  tan²θ = (± √3) ² 
⇒    tan⁡θ = ± √3 [∵θ≤  90°]
⇒   tan⁡θ = tan⁡  60°
        ∴ θ  = 60°.
Thus, the value of θ is 60°.
 
5. Solve:

√3 tan   A+1 = 0   [0° ≤A ≤ 180°]

Solution: Here,
     √3 tan   A+1 = 0      
⇒   √3 tan A  = -1
⇒    tanA  = -  1/√3
⇒    tanA  = tan (180°-30°)    [Since, 0° ≤A ≤ 180°]
 ∴   A  = 150°.
Thus, the value of A is 150°.
 
6. Solve:

sin 2θ + cos θ = 0  [0° ≤ θ  ≤  90°]

Solution: Here,
     sin 2θ + cos θ = 0  
⇒   2sin θ. cos θ + cos θ = 0  
⇒   cos θ (2sin θ+1)=0.
Either,     cos θ =0
          ⇒  cos θ = cos 90°
 ∴            θ = 90°.

OR, 2sin θ = -1
       ⇒sin θ= -  1/2  [ Rejected, Since,   [0° ≤ θ ≤  90°]   
Thus, the value of θ  is 90°.
 
7. Solve:

3 tan θ - √3  = 0  [0° ≤ θ≤ 90°]

Solution: Here,
     3 tan θ - √3  = 0  
⇒  3 tan θ= √3
⇒   tan θ = (√3)/3
⇒   tan θ = 1/(√3)
⇒   tan θ = tan 30°            [since 0° ≤ θ≤ 90°]
∴   θ = 30°.
Thus θ = 30° is the solution.
 
8. Solve:

sin x - sin2x = 0  [0° ≤ x≤ 2]

Solution: Here, 
     sin x - sin2x = 0  
⇒   sin x - 2sinx. cos x = 0  
⇒   sin x (1- 2cos x) = 0 .
 
Either,
      sin x = 0
i.e. sin x = sin 0°
∴   x = 0°.
OR,
       1- 2cos x = 0 
⇒     2cos x = 1
⇒    cosx = 1/2
⇒    cosx = cos60°
∴     x = 60°.
Thus, x = 0° or 60° is the solution. 
 
9. Solve:

√3 tan θ - 3 = 0 [0° ≤θ≤ π ^c]

Solution: Here, 
    √3 tan θ = 3 
⇒  tan θ = √3
⇒  tan θ = tan60° [∵θ≤  180°]
∴    θ = 60°
Thus, the value of  θ  =  60° .
 
10. Solve:

tan 𝜃 =  cot 𝜃  [0° ≤ 𝜃≤ 90°]

Solution: Here, 
     tan θ  =  cotθ
 ⇒ tan θ = 1/(tan θ)
⇒  tan² θ = 1 
⇒  tan θ = ±1.

 Since, θ ≤ 90°.
So, taking positive value only,
      tan θ = 1
i.e. tanθ = tan45°
∴   θ = 45°.
Thus, the value of θ is  45°. 
 
11. Solve:

sin²θ - sin θ + 1 = 0 [0° ≤ θ ≤ 90°]

Solution: Here, 
sin²θ - sin θ + 14 = 0
⇒  4sin² θ - 4sin θ + 1 = 0
⇒ (2sin θ)² - 2.2sin θ .1+ 1² = 0
⇒ (2sin θ - 1)² = 0
⇒  2sin θ - 1 = 0
⇒  2sin θ = 1 
⇒ sin θ = 12
⇒  sin θ = sin30°     [Since, 0° ≤ θ ≤ 90°]
∴   θ = 30°.
Thus, the value of θ is 30°.
 
12. Solve: 

2√3 cos²θ = sinθ        (0°≤ θ ≤ 360°)

Solution: Here, 
     2√3 cos²θ = sinθ
⇒  2√3(1 – sin²θ) = sinθ
⇒  2√3 - 2√3 sin²θ – sinθ = 0
⇒  2√3 sin²θ + sinθ - 2√3 = 
⇒  2√3 sin²θ + 4sinθ - 3sinθ - 2√3 = 0 
⇒  2sinθ (√3 sinθ + 2) - √3(√3sinθ + 2) = 0 
⇒  (√3 sinθ + 2) (2sinθ - √3) = 0.

 Either, √3sinθ + 2 = 0 …….. (i)
OR,       2sinθ - √3 = 0 ………. (ii) .

From, (i)
     √3  sinθ + 2 = 0 
⇒  √3 sinθ = -2 
⇒  sinθ = -2/√3 = -1.154<-1 (Impossible) 

From (ii);
     2 sinθ = √3
⇒ sinθ = √3/2
⇒ sinθ = sin60° or (180° - 60°)
∴   θ = 60° or 120°.
Thus, θ = 60° or 120° is the solution. 
 
14. Solve: 

sinθ + cosθ = 1 

Solution: Here, 
  sinθ + cosθ = 1 .
Now
   √ (coefficient of sinθ)2+(coefficient of cosθ)2
= ✓12+12
= ✓2
Dividing given equation by 2 then,
1√2 sinθ + cosθ 1√2 = 1√2
⇒ sinθcos45° + cosθsin45° = 1√2
⇒ sin (θ + 45°) = sin45° = 12
⇒ sin(θ + 45°) = sin45° or 135° or (360° + 45°)
⇒ θ + 45° = 45° or, 135° or, 405°
∴   θ = 0° or 90° or 360°.
Thus, the value of θ is 0°, 90°, 360°.

15. Solve:

√3 sinθ + cosθ = √2            [0° ≤ θ ≤ 360°]

(Same as problem 14)

16. Solve: 

1 + √3 tanα - sec α = 0              (0° ≤ θ ≤ 360°)

Solution: Here, 
      1 + √3 tanα - sec α
⇒ 1 + √3sinαcosα - 1cosα = 0
⇒ cosα+ √3 sinα-1cosα = 0
⇒ cosα + √3 sinα - 1 = 0 
⇒ cos α + √3 sinα = 1
( Same as problem 14 and 15)

17. Solve: 

sinA + sin3A = sin2A         (0° ≤ A ≤ 360°)

Solution: Here, 
      sinA + sin3A = sin2A 
⇒  2sin(A+3A2)cos(A-3A2) = sin2A
⇒  2sin2A cosA – sin2A = 0 
⇒  sin 2A (2cosA – 1) = 0 .
Either,
                 sin2A = 0
     ⇒  sin2A = sin0° or 360°
     ⇒  2A = 0° or 360°
∴   A = 0° or,     180°.
OR,
               2cosA – 1 = 0
    ⇒  cosA = 1/2
    ⇒  cosA = cos60° or (360° - 60°)
∴  A    = 60° or 300°
Thus, A = 0° or 60° or 180° or 300°.

18. Solve: 

√3 sinθ – cosθ = √2.                (0° ≤ θ ≤ 360°)

Solution: do yourself

19. Solve: 

√3  sinx + cos x = 1      (0° ≤ x ≤ 360°)

Solution: do yourself

20. Solve: 

sinA = √3 (1 – cosA)             (0° ≤ A ≤ 360°)

Solution: Here,
      sinA = √3 (1 – cosA)     
i.e. sinA = √3  - √(3 )cosA 
i.e.  sinA + √3 cosA = √3 
Now do yourself

21. Solve: 

(1 - √3 )tanθ + 1 + √3  = √3 sec² θ   (0°≤A≤360°)

Solution: Here, 
     (1 - √3 )tan θ + 1 + √3 = √3 sec² θ
⇒  (1 - √3 )tan θ + 1 + √3  = √3 (1 + tan² θ)
⇒ (1 - √3 )tan θ + 1 + √3  = √3  + √3 tan² θ
⇒ √3 tan² θ + (√3 - 1)tan θ - 1 = 0
⇒  √3 tan² θ + √3  tan θ - tan θ - 1 = 0 
⇒  √3  tan θ(tan θ + 1) – 1(tan θ + 1) = 0 
⇒ (tan θ + 1) (√3  tan θ - 1) = 0. 
Either, tanθ + 1 = 0
⇒  tan θ = -1 
⇒  tan θ = tan (180° - 45°) or (360° - 45°) 
∴    θ = 135° or 315°.

OR, √3 tan θ - 1 = 0
⇒  tan θ = 1/√(3 )
⇒  tan θ = tan 30° or (180° + 30°) 
∴    θ = 30° or 210°.
Thus, the values of θ are 30°, 135°, 210°, 315°. 
 
22. Solve: 

2√3 sin² θ = cos θ.          (0° ≤ θ ≤ 360°)

Solution: Here, 
     2√3 sin² θ = cos θ  
⇒ 2√3 (1 – cos² θ) = cos θ  
⇒ 2 √3   - 2√3 cos² θ   = cos θ  
⇒   2 √3  cos² θ + cos θ - 2√3   = 0 
⇒   2cos θ(  √3 cos θ + 2) - √3  (√3  cos θ + 2) = 0
⇒   (2cos θ - √3 ) (√3 cos θ + 2) = 0
⇒   (2cos θ - √3 ) (√3 cos θ + 2) = 0 .

Either, 2 cos θ - √3  = 0
⇒    2cos θ = √3 
⇒    cos θ = 32   
⇒    cos θ = cos 30°  or cos(360° - 30°) 
∴    θ = 30° or 330°   
                   
OR, √3 cos θ + 2 = 0
⇒    cos θ = -2/√3     (Impossible).
Thus, the value of θ is 30° or 330°. 
.