Class 9 Trigonometry

1. If cosθ = 4, find the value of sinθ and tanθ.
Solution: 
Here, 
cosθ = 45
Now,
sinθ = √1-cos2θ 
      = 35 (find yourself)
Again tanθ = sinθcosθ
       = 3545
      = 35× 54


      =  34
Thus, the value of sinθ and tanθ are 35 and 34  respectively.

2. Prove that:
 tanθ+ secθ-1tanθ-secθ+ 1  = 1+sinθcosθ 
Solution: 
LHS  = tanθ+ secθ-1tanθ-secθ+ 1           
          = tanθ+ secθ-(sec2θ- tan2θ)1+ tanθ-secθ
         = secθ+ tanθ-(secθ+ tanθ)(secθ- tanθ)1+ tanθ-secθ
         = (secθ+ tanθ)(1-secθ+tanθ) 1- secθ+tanθ
         = secθ + tanθ
         = 1cosθ + sinθcosθ
         = 1+sinθcosθ...         
          = RHS.

Proved.

3. 

Prove that:
1-sinxcosx=cosx1+sinx

To prove: 1-sinxcosx=cosx1+sinx
LHS = 1-sinxcosx
        =1-sinxcosx×1+sinx1+sinx 
        =1-sin2xcosx(1+sinx)
       =cos2xcosx(1+sinx)
       =cosx1+sinx
       =RHS.

Proved.

4. Prove that:

cosA1-sinA-cosA1+sinA=2tanA

To prove, cosA1-sinA-cosA1+sinA=2tanA.
LHS=cosA1-sinA-cosA1+sinA
       =cosA(1+sinA)-cosA(1-sinA)1-sin2A
       =cosA+sinAcosA-cosA+sinAcosAcos2A
       =2sinAcosAcos2A
       =2sinAcosA
       =2tanA.
       =RHS.

Proved.

5. Prove that:

cosA1+sinA+1+sinAcosA=2secA

To prove, cosA1+sinA+1+sinAcosA=2secA.
LHS=cosA1+sinA+1+sinAcosA
       =cosA1+sinA×1-sinA1-sinA+1cosA+sinAcosA
       =cosA(1-sinA)1-sin2A+secA+tanA
       =cosA(1-sinA)⁡cos2A+secA+tanA
       =1cosA-sinAcosA+secA+tanA
       =secA-tanA+secA+tanA
       =2secA
       =RHS.

Proved.

6. Prove that:

sinA1+cosA+1+cosAsinA=2cosecA

To prove, sinA1+cosA+1+cosAsinA=2cosecA.
LHS=sinA1+cosA+1+cosAsinA
       =⁡sin2A+(1+cosA)2sinA(1+cosA)
       =sin2A+1+2cosA+⁡cos2AsinA(1+cosA)
       =1+1+2cosAsinA(1+cosA)
       =2(1+cosA)sinA(1+cosA)
       =2sinA
       =2cosecA .
       =RHS.

Proved.

7. Prove that:

(cosecA+1)(1-sinA)=cosA.cotA.

To prove, (cosecA+1)(1-sinA)=cosA.cotA.
LHS=(cosecA+1)(1-sinA)
       = (1 sinA + 1) (1 - sinA)
       = (1 + sinAsinA) (1 - sinA)
       = (1 - sin²AsinA)
        =  cos²AsinA 
        = cosA.cotA
        = RHS.

Proved.

8. Prove that:

cot2A-cos2A= ⁡cos2A.⁡cot2A

To prove, ⁡cot2A-cos2A= ⁡cos2A.⁡cot2A

LHS=cot2A- cos2A
       =cos2A sin2A-  cos2A
       =⁡cos2A.cosec2A-cos2A
       =cos2A(cosec2A - 1
)
       =cos2A.⁡cot2A
       =RHS.

Proved.

9. Prove that:

1secA-tanA=secA+tanA

To prove, 1secA-tanA=secA+tanA.

LHS=1secA-tanA
       = 1secA-tanA×secA+tanAsecA+tanA
      =secA+tanA⁡sec2A-⁡tan2A
      =secA+tanA1
      =secA+tanA
      =RHS.

Proved.

10. Prove that:

1-⁡cos4B⁡sin4B=1+2⁡cot2A

To prove, 1-cos4⁡cos4Bsin4⁡sin4B=1+2⁡cot2A.

LHS= 1-⁡cos4B⁡sin4B
       =1-⁡cos2A2sin4A
       =(1-⁡cos2A)(1+⁡cos2A)⁡sin4A
       =(1-⁡cos2A)(1+⁡cos2A)⁡sin4A
       =⁡sin2A(1+⁡cos2A)⁡sin2A.⁡sin2A
       =1⁡sin2A+⁡cos2A⁡sin2A
       =cosec2A+⁡cot2A
       =cot2A+1+⁡cot2A
       =1+2⁡cot2A
       =RHS.

Proved.

11. Prove that:

tanA+sinAtanA-sinA=secA+1secA-1

To prove, tanA+sinAtanA-sinA=secA+1secA-1

LHS= tanA+sinAtanA-sinA
        =sinAcosA+sinAsinAcosA-sinA
       =sinA(secA+1)sinA(secA-1)
        = secA+1secA-1
       =RHS.

Proved.

12. Prove that :

1-cot4Acosec4A=1-2cos2A

To prove, 1-cot4Acosec4A=1-2⁡cos2A.

LHS=1-cot4Acosec4A 
       =1cosec4A-⁡cot4Acosec4A
       =⁡sin4A-⁡cos4A
       =⁡sin2A2-cos2A2
       =(sin2A+cos2A)(⁡sin2A-cos2A)
       =1.(1-cos2A-cos2A)
       =1-2cos2A
       =RHS.

Proved.

13. Evaluate: cosec(-1485°)
Solution:  Here,
     cosec(-1485°)
=-cosec(1485°)
=-cosec(1440°+45°)
=-cosec(4×360°+45°)
=-cosec45°
=  - cosec45°
=  -√2

14. Evaluate:sin112°+cos80°-sin68°+cos100°
Solution: 
We have,
    sin112°+cos80°-sin68°+cos100°
=⁡sin(180°-68°)+⁡cos(180°-100°) -sin68°+cos100°
=sin68°-cos100°-sin68°+cos100°
=0.

15. Prove that: sin112°+cos80°-sin68°+cos100°=0
Solution:
To prove: sin112°+cos80°-sin68°+cos100°=0
Here,
LHS= sin112°+cos80°-sin68°+cos100°
=sin(180°-68°)+cos(180°-100°)-sin68°+cos100°
=sin68°-cos100°-sin68°+cos100°
=0

16. Prove that:cos20°+cos40°+cos140°+cos160°=0
Proof: 
Here,
LHS= cos20°+cos40°+cos140°+cos160°
       =cos(180°-160°)+cos(180°-140°)+cos140°+cos160°
       =-cos160°-cos140°+cos140°+cos160°
       =0 
        = RHS.

Proved.

17. 

Simplify: sin³(-A)⁡cos2(90°+A) .sin(180°+A)cos(270°+A

)

Solution: 

We have,
⁡sin3(-A)cos2(90°+A)
 .sin(180°+A)cos(270°+A)
=⁡sin3(-A)(-sinA)2⁡

.-sinAsinA
=-sin3Asin2⁡.-1
=sinA

18. 

Evaluate:⁡cosπc8+cos3πc8+cos5πc8+cos7πc8

Solution: 
We have, 
    cosπc8+cos3πc8+cos5πc8+cos7πc8  
=⁡cosπc8+cos3πc8+cos(πc-3πc8) + cos(πc-πc8)
=cosπc8+cos3πc8-cos3πc8- cosπc8
=0.

19. Find the value of x : cosec(90°+A) +xcosA.⁡cos(90°+A)=⁡sin(90°+A
)
Solution; 
We have,
cosec(90°+A)+xcosA.cos(90°+A)=⁡sin(90°+A
)
⇒ secA+xcosA.(-sinA)=cosA
⇒ secA-cosA=xsinAcosA
⇒ xsinAcosA=1cosA-cosA
⇒ xsinAcosA=1-⁡cos2AcosA
⇒ x=⁡sin2AsinA.⁡cos2A
⇒ x=sinAcos2A

 

∴  x  =tanA
cosA-

20. Prove that:
cos2πc8+cos23πc8+cos25πc8+cos2 7πc8=2

Here,
LHS=⁡cos2πc8+⁡cos23πc8+⁡cos25πc8+⁡cos2 7πc8 
        =  1- sin2πc8 +⁡1-sin23πc8+cos2 (π2c+π8c)+⁡cos2 ( π2c+3π8c)
       =2-sin2πc8-⁡-sin23πc8+-sinπ8c2 ⁡ +(-⁡sin3π8c)2
      =2-⁡sin2πc8-sin23πc8+⁡sin2πc8+  sin23πc8
      =2.
      =RHS.

Proved.

21. Prove that:⁡
sin²πc16+sin23πc16+sin25πc16+⁡sin27πc16=2.

To prove, ⁡sin2πc16+sin23πc16+⁡sin25πc16+⁡sin27πc16=2
We have,
LHS= ⁡sin2πc16+sin23πc16+⁡sin25πc16+⁡sin27πc16
       =sin2πc16+⁡sin23πc16+⁡sin2 (π2c+3π16c)+⁡sin2 (π2c+π16c)
       =sin2πc16+⁡sin23πc16+cos2πc16+⁡cos23πc16
       =1+1
       =2 .
       =RHS .

proved

22. Prove that:

sinθ - cosθ + 1⁡sinθ + cosθ - 1 = sec θ + tan θ

LHS = Sinθ - cosθ + 1sinθ + cosθ - 1
        = Sinθ – cosθ + 1cosθSinθ + cosθ - 1cosθ
        =  tanθ + secθ - 1tanθ - secθ + 1
        = (tanθ+secθ)-(sec 2θ-tan 2θ)tanθ- secθ + 1
        =  tanθ + secθ -(1 -sec θ + tan θ)1- secθ + tanθ
        = tanθ+secθ
        = RHS .

Proved.

23. Prove that:
 cotA + cosecA - 1cotA- cosecA + 1  = 1+ cos Asin A .

LHS = cotA + cosecA - 1cotA- cosecA + 1
        = cotA + cosec A-( cosec 2A - cot 2 A)cot A- cosec A + 1 = (∵1= cosec 2A-cot 2A)
        = cosec A + cotA -( cosec A+ cot A)( cosec A-cot A)1+ cot A- cosec A
        = (cosec A + cotA) ( 1 + cotA - cosec A)1+ cot A- cosec A
        = cosecA+cotA
        = 1sin A + cos Asin A
        = 1+ cos Asin A  
        = RHS

Proved.

24. Prove that:
 1+ cosec 2A cos 2 A sin 2 B1+ cosec 2A cos 2 c sin 2 B

   = 1+(cot AsinB) 21+(cot Csin B) 2

Proof RHS = 1 + (cotAsinB) 21+(cotCsinB) 2
        = 1+( cos Asin A.sin B) 21+(cos csin c×sin B) 2
        = 1+ cosec 2A cos 2 A sin 2 B1+ cosec 2A cos 2 c sin 2 B  
        = LHS.

Proved.

25. Prove that:
    1cosec A - cotA - 1sin A

= 1sin A - 1cosec A + cotA ..

Proof LHS =   1cosec A - cotA - 1sin A  .
        =   cosec 2 A - cot 2 Acosec A - cotA - cosec A
        =   (cosecA +cotA)(cosecA-cotA)cosecA - cotA - cosecA
        = cosecA + cotA - cosecA
        = cot A

 RHS = 1sin A - 1cosecA + cotA ..
         = cosec A - cosecs 2 A - cot 2 Acosec A + cotA
         = cosecA - (cosec A-cotA)
         = cosec A - cosec A+⁡cotA
         = cot A
        = LHS .

Proved .

26. Prove that:

  ⁡tanxSec x - 1 - ⁡sinx1 + cosx .= 2 cotx
Proof LHS =  ⁡tanxSec x - 1 - ⁡sinx1 + cosx .
        = tanx1⁡cosx- 1 - sinx1 +cosx
       = sinxcosx1 - ⁡cosxcosx - ⁡sinx1 +⁡cosx
       =  sinx1 - cosx - sinx1 +cosx
      =  sinx1 + cosx- sinx (1-cosx)(1 +cosx) (1 -cosx)
      =  sinx+ sinxcos- sinx + sinx cosx1 -cos 2x
     =  2sinxcosxsin2x
     = 2cosxsin x
     = 2 cot x
     = RHS.

Proved.

27. 

Prove that:
1 + 3cosθ - 4cos3θ1 -cosθ = (1 + 2cosθ )²

Proof Given 
1 + 3cosθ - 4cos 3 θ1 -cos θ  = (1 + 2 cos θ )²
⇒ 1 + 3 cos θ - 4 cos⁡³ θ = (1 – cos θ ) (1 + 2 cos θ )²
Now,
RHS = (1 – cos θ ) (1 + 2 cos θ )²
         = (1- cos θ ) (1 + 4 cos θ + 4 cos² θ)
         = (1 + 4 cos θ + 4cos² θ-cosθ - 4 cos² θ+4 cos³ θ)
         = 1+ 3 cos θ - 4 cos³ θ
         = LHS.
∴ LHS = RHS.

Proved.

28. Prove that:

sin² α (4 cos² α - 1)² + cos² α(4 sin²α - 1)² = 1

Proof; LHS = sin² α (4 cos²α - 1)²  + cos² α (4 sin²α - 1)²
        = sin²α (16 cos⁴ α - 8 cos²α+1) + cos²α (16 sin⁴ α - 8 sin²α+1) 
        = 16 sin²α cos²α-8  sin²α cos²α + sin²α+16 cos²α  sin⁴  α - 8 sin² α cos²α  + cos²α  
        = 16 sin²α cos²α+16cos²α sin⁴  α-16 sin²α  cos² α  + sin²α+ cos² α  
        =  16 sin²α cos² α (cos²α + sin²-1 ) +1
        = 16 sin²α cos²α (1-1 ) + 1
        = 16 sin²α cos²α (1-1 ) + 1
        = 16 sin²α cos²α ×0 + 1
        = 0 + 1
        = 1
        = RHS. 

 Proved.

 
29. Prove that: 

(1 + sin x - cos x)² + (1 - sin x + cos x)² = 4 (1 - sinx cos x)

Proof LHS = (1 + sin x - cos x) ² + (1 - sin x + cos x) ²
        = (1 + sin x) ² - 2(1 + sin x) cos x + cos²x + (1 - sinx) ² + 2(1 - sin x) cos x + cos² x
        = 1 + 2sinx + sin²x - 2cos x - 2 cos x sin x + cos ²α  + 1 - 2 sin x + sin²x +  2 cos x - sinx cos x + cos²x 
        = 4 - 4 sin x cos x      [Using sin² x + cos² x = 1. ]
        = 4 (1 - sin x cos x) 
        =  RHS.

Proved. 

 
30. Prove that:

cot θ - sec θ cosec θ (2 cos ² θ - 1) = 1

Proof LHS = cot θ - sec θ cosec θ (2 cos² θ-1)
        = cot θ - 1sinθcosθ (2 cos² θ-1)
        = cosθsinθ - 2cos 2θ - 1sinθcosθ
        = cos 2θ -2cos 2θ + 1sinθcosθ
        = 1 -cos 2θsinθ⁡cosθ
        = sin 2 θsinθcosθ
        = tan θ
RHS = 1 + tan θ1 + cot θ
        = 1 + tan θ1 + 1tan θ 
        = 1 + tan θtan θ + 1tan θ
        = tan θtan θ + 1tan θ
        = tan θ (1 + tan θ)(1 + tan θ)
        = tan θ
        = LHS.

Proved.