See Opt Maths: Multiple And Submultiple Angles

How to solve trigonometry problem fast

1. If tan A = m & tan B = 1/m , find the value of (A+B).
Solution: Here,
tanA= m and tanB= 1m
We know that, tan (A+B) = tanA+tanB1- tanA tanB
                                          = m+1m1-m× 1m
                                          = m+1m0
                                          =  ∞
∴ tan (A+B) = ∞
i.e. tan (A+B) = tan 90°
∴   (A+B) = 90°.
Thus, the value of (A+B) is 90°

2. If tan A/2 = 3/4 then find the value of sin A.
Solution: Here,
Tan A2 = 34,
We have
Sin A = 2tan A21+tan 2 A2
        = 2⁡× 341+34 2
        = 321+916 
       = 322516
      = 32×1625
      = 2425
Thus, the value of sinA is 2425.

3. If sin A/3 = 4/5 then find the value of sin A.
Solution: Here,
    Sin A = 45
We have,
Sin A = 3sin A3 -4 sin³A3
          =3×45 - 4 ×(45)³
          = 125 – 4×64125
         = 125 – 256125
        = 44125
Thus, the value of sin A is 44125.

4. If sin A = 1 , find the value of sin 3A.
Solution: Here,
sin A = 12
We have,
sin 3A = 3 sin A- 4 sin³ A
           = 3 × 12 – 4( 12) ³
           = 32 – 12
           = 1.
Thus, the value of sin 3A is 1.

5. Prove that : 

1+ sinA –cosA1+ sinA+cosA = tan A/2

Proof: Here,
RHS = 1+ sinA -⁡cosA1+ sinA+⁡cosA

        =  (1- cosA)+Sin A (1+cosA)+Sin A 

        = 2⁡sin2 A2+2⁡sin A2 ⁡cos A22⁡cos2 A2+2sin A2 cos A2

        = 2 ⁡sin A2(sin A2+ ⁡cos A2)2⁡cos A2⁡(cos A2+ sin A2)
        = sin A2cos A2
        = tan A2
        = LHS .

Proved.

6. Prove that: cot A/2 - tan A/2 = 2 cot A
Proof: Here,
LHS = cot A2 - tan A2
        = cot A2 - 1⁡cot A2

       = cot² A2 – 1cot A2

   =     2   ×   cot² A2 – 12 cot A2
              
       = 2 cot A

       = RHS.

Proved

7. Prove that :

1+ cosθ+⁡sinθ1-⁡⁡cosθ+⁡sinθ= cot θ/2

Proof: Here,
LHS = 
 1+ cosθ+sinθ1-⁡cosθ⁡+ sinθ 

= ⁡ 2 cos 2⁡ θ2+  2sin⁡ θ2 ⁡ cos ⁡ θ2⁡ 2 sin 2⁡ θ2+  2sin⁡ θ2  cos ⁡ θ2

=  2 cos ⁡ θ2 (cos⁡ θ2⁡+sin ⁡ θ 2⁡ 2 sin ⁡ θ2 (sin⁡ θ2+cos ⁡ θ2)

=  cos ⁡ θ2sin ⁡ θ2⁡ 
= cot ⁡ θ2 
= RHS .
Proved.

8. Prove that: cosec θ - cot θ = tan θ/2
Proof: Here,
LHS:
= cosec θ - cot θ

= ⁡ 1sinθ - ⁡cosθsinθ

= ⁡ 1-⁡cosθsinθ

= 2 sin 2 ⁡ θ22 sin ⁡ θ2 ⁡cos ⁡ θ2

= sin ⁡ θ2cos ⁡ θ2

= tan ⁡ θ2

= RHS .

Proved.

9. If  cos∝/3 = 2 , find the value of sin ∝
Solution: Here,
cos ⁡ ∝3 = ⁡⁡ 12

So, sin ⁡ ∝3 = sqrt [1–cos2⁡ ∝3  ]

= sqrt [1-⁡ 122 ]

= sqrt [1-⁡ 14 ]

= ⁡⁡√32
We know that,
sin∝ = 3 sin ⁡ ∝3 - 4 sin³ ⁡ ∝3

= 3 × ⁡⁡√32 - 4 ( ⁡⁡√32)³

= ⁡ 32 √3 - ⁡ 3√32
= 0.

∴ sin ∝ = 0
Thus, the value of sin ∝ = 0.

10. Prove that: cosec 2θ - cot 2θ = tan θ
Proof: Here,

LHS = cosec 2θ - cot 2θ
        = ⁡ 1sin2θ - ⁡ ⁡cos2θsin2θ
        = ⁡ 1-cos2θsin2θ
        = 2 sin 2 θ2 sinθ⁡cosθ
       = ⁡sinθ⁡cosθ
       = tan θ
       = RHS .

Proved.

11. Prove that:

⁡ sinθ+sin2θ⁡1+⁡ cosθ+cos2θ = tanθ

Proof: Here,
LHS = ⁡ ⁡sinθ+sin2θ⁡1+⁡cosθ+cos2θ
       = ⁡ sinθ+2⁡sinθ⁡cosθ1+⁡cosθ+⁡ 2cos 2θ-1
       = ⁡ ⁡sinθ[1⁡+2⁡cosθ]⁡⁡cosθ [2cos θ+1]
       = ⁡ sinθ⁡ cosθ
       = tanθ
       = RHS.

Proved.

12. Prove that: 
 sec4θ- 1sec2θ-1 = tan4θ. cotθ 
Proof: Here,
LHS = sec4θ- 1sec2θ-1   
        = 1cos4θ– 11cos2θ– 1
         = 1-cos4θcos4θ ⨉ cos2θ1-cos2θ
         = 2sin22θ × cos2θcos4θ ×2sin2θ
        = 2sin2θ .cos2θcos4θ . sin2θ2sin2θ
        = sin4θcos4θ . 2sinθ .cosθ2sin2θ
        = tan4θ. cosθsinθ
        = tan4θ. cotθ
        = RHS.

Proved

14. 

Prove that: 8 (sin⁶p + cos⁶p) = 5 + 3 cos4p

Proof: Here,

LHS = 8 (sin⁶ p + cos⁶ p) 
         = 8 [(cos² p)³] + [(sin² p)³ ] 
         = 8 [(cos² p + sin² p)³] - 3 cos² p sin² p (cos²p +sin² p )]
         = 8 [ 1 - 3 cos² p sin² p × 1 ] 
         = 8-6 (2 sin p cos p) ² 
         = 8 -6(sin 2p) ² ]
         = 8- 6 sin ² 2p  
         = 8 - 3 (2 sin² 2p )  
         =  8 - 3 [1 - cos 4p]
         = 8 – 3 + 3 cos 4p            
         = 5 + 3 cos 4p 
         = RHS.

Proved. 

 

15. 

Prove that:  

1 +sin ∝ -cos ∝1 +sin ∝ +cos ∝  =     tan ∝2      

Proof: Here,

RHS = 1 +sin ∝ -cos ∝1 +sin ∝ +cos ∝  
         = 1 -cos ∝+sin ∝1 +cos ∝+sin ∝
         = 2sin 2 ∝2 +2sin ∝2cos∝2
2cos 2 ∝2+2sin ∝2 cos∝2

         = 2sin ∝2[sin ∝2+ cos∝ 22cos ∝2[cos ∝2+ sin∝2 
         = sin ∝2cos ∝2
         = tan ∝2  
         = LHS.

Proved.

16. 

Prove that:
tanθ + 2 tan2θ + 4 cot4θ = cot θ

Proof: Here,

LHS = tanθ + 2 tan 2θ + 4 cot 4 θ
         = tan θ + 2 tan 2θ + 4tan4θ
         = tanθ+ 2 tan 2θ + 4 (1-tan 2⁡tan 22θ)2tan2θ
         = tan θ + 2tan 22θ+2-2⁡tan 22θ)tan2θ
         = tan θ + 2tan2θ
         = tan θ + 2tan2θ
         = tan θ + 22tanθ(1-⁡tan 2θ)
         = tan θ + 1-tan 2θtanθ
         = tan 2θ + 1- tan 2 θtanθ
         = 1tanθ
         = cot θ
         = RHS.

Proved.

17. 

Prove that:  
cos³ A.cos 3A + sin³ A.sin 3A = cos³ 2A. 

Proof: Here,  

LHS = cos³A.cos 3A + sin³ A.sin 3A
         = 14 [4cos³A cos 3A + 4 sin³A sin 3A] 
We have,
cos3A=4cos³A - 3cosA Þ 4cos³A = cos3A + 3cosA
and sin3A=3sinA - 4sin³A Þ 4sin³A = 3 sinA - sin3A
So 14 [4cos³A cos3A + 4sin³ A sin 3A]
 = 14 [cos3A + 3 cosA) cos3A +(3sinA- sin3A) sin3A ]
  = 14 [cos²3A + 3 cosA cos3A +3sinA sin3A- sin²3A ]
  = 14 [cos³A-sin²3A)+3(cosAcos3A+sinAsin3A cos²3A]
         = 14 [cos 6A + 3cos (A - 3A)]
         = 14 [cos 6A + 3cos 2A]
         = 14 [cos 3(2A) + 3cos 2A]
         = 14 [4cos³2A - 3cos 2A+3cos 2A]
         = 14 × 4cos³2A
         = cos³ 2A
         = RHS.

Proved.

18. 

Prove that:  
cos² A+ sin² A.cos 2B = cos² B+ sin² B. cos 2A

Proof: Here,  

LHS = cos²A+ sin²A.cos2B 
         = cos²A+ sin²A(1 - 2sin²B)
         = cos²A+ sin²A - 2sin²A.sin2B) 
         = 1- 2 sin²A. sin²B
         = 1- (1- cos 2A) sin² B
         = 1-  sin² B + sin² B cos 2A
         = cos²  B + sin² B. cos 2A  
         = RHS.

Proved.

 
19. Prove that:

cos³θ . cos3θ + sin³θ . sin3θ = cos³2θ

Proof: Here,  

LHS = cos³θ . cos 3θ + sin³ θ . sin 3θ.
We have, 
     cos 3θ = 4cos³ θ - 3 cos θ
i.e 4cos³ θ = cos3θ + 3 cos θ
∴ cos3θ = 14 ( (cos3θ + 3 cos θ)......................i)
and sin 3θ = 3sin θ - 4 sin3 θ
i.e. 4 sin3θ = 3sin θ - sin 3θ
∴ sin3θ= 14 ( (3 sin θ - sin 3θ)...........................ii)
Now,
LHS = 14 (cos⁡3 θ + 3 cos⁡θ) cos⁡3 θ + 14(3sin⁡θ-⁡sin 3θ )⁡sin 3θ
         = 14 [ [cos² 3θ + 3 cos θ cos 3 θ + 3sin θ sin3θ -sin⁡²3θ ]
         = 14 [ [cos² 3θ -sin⁡²  3θ+ 3 (cos θ cos 3 θ + sin θ sin⁡ 3θ)]
         = 14 [ [cos 2 ×⁡ 3θ + 3cos (θ - 3θ)]
         = 14 [⁡cos6θ + 3cos 2θ]
         = 14 [⁡cos3.2θ + 3 cos 2θ]
         = 14 [4cos 3 2θ - 3 cos 2θ + 3 cos 2θ]
         = 14 × 4cos 3 2θ
         = cos³ 2θ.
         =RHS .

Proved.

20. 

Prove that:
8 ( 1 + sin π^c8) ( 1 + sin 3π^c8) ( 1 - sin 5π^c8) ( 1 - sin 7π^c8) = 1

Proof: Here, 

LHS = 8 ( 1 + sin π^c8) ( 1 + sin 3π^c8) ( 1 - sin 5π^c8) ( 1 - sin 7π^c8)
         =  8 (1 + sin π^c8 )( 1 + sin⁡3π^c8 ) [1 - sin⁡ (πc- 3π^c/8)][ 1 - sin⁡( πc - π^c8) ] 
         = 8 ( 1 + sin π^c8) ( 1 + sin 3 πc8) (1 - sin 3π^c8) ( 1 - sin π^c8)
         = 8 ( 1 - sin² π^c8) ( 1 - sin² 3 π^c8)
        =8 cos² π^c8×sin² 3π ^c8
   
         = 8 cos² π^c8×[cos(π^c2 -π^c8) ]²
         = 8 cos² π^c8×sin²π^c8
         = 2 × 4 cos²π^c8×sin²π^c8
         = 2(2cos π^c8sin π^c8)²
         = 2(sin 2 ×π^c8)²
         = 2 sin ² π^c4
         = 2 × sin² 45°
         = 2 × (12)²
         = 2 ×12
         = 1.
         =  RHS .

Proved

                                                                                              21. Prove that:

3(sinx - cosx)⁴ + 6(sinx + cosx)² + 4(sin⁶x + cos⁶x) = 13.

Proof: 
LHS= 3(sin x – cos x)⁴ + 6(sin x + cos x)² + 4(sin⁶ x + cos⁶ x)
= 3 [(sin x – cos x)²]² + 6(sin²x + cos²x + 2 sin x cos x) + 4 [(sin²x)³ + (cos²x)³]
= 3 [sin²x + cos²x – 2 sin x cos x]² + 6(1 + 2 sin x cos x) + 4 [(sin²x + cos²x) (sin⁴x + cos⁴x – sin²x cos²x)]
= 3 [1 – 2 sin x cosx)² + 6 + 12 sin x cos x + 4 [(sin²x)² + (cos² x)² + 2 sin²x cos²x – 3 sin² x cos²x]
[ using: sin ² x + cos ² x = 1]
= 3 [1 + 4 sin²x cos²x – 4 sin x cos x)] + 6 + 12 sinx  cos x + 4 [(sin²x + cos² x)² – 3 sin²x cos²x]
= 3 + 12 sin² x cos²x – 12 sin x cos x + 6 + 12 sin x cos x + 4 – 12 sin²x cos²x
= 13
= RHS.
Proved.

22. Prove that: 8 sin⁴A = 3 - 4 cos2A + cos4A.
Proof: Here,
RHS = 3 - 4 cos2A + cos4A.
         = 3 - 4(1 - 2sin²A) + 2cos²2A - 1
         = 2 - 4 + 8sin²A + 2(1 - 2sin²A)² 
         = - 2 + 8sin²A + 2( 1 - 4sin²A + 4sin⁴A)
         = - 2 + 8sin²A + 2 - 8sin²A + 8sin⁴A
         = 8sin⁴A
         = LHS.
Proved.
 
23. Prove that : cos⁶A - sin ⁶A = cos2A(1- ¹/₄ sin²2A).
Proof: LHS = cos⁶A - sin ⁶A
       = (cos²A)³ - (sin²A)³
       = ( cos²A - sin²A) [ ( cos²A)² + cos²A.sin²A + (sin²A)²]
       = cos2A [ (cos²A + sin²A)² - 2cos²A.sin²A + cos²A.sin²A]
      =  cos2A [ (1)² - cos²A.sin²A]
      = cos2A [ 1 - 14(2cosA.sinA)²
      = cos2A (1 - 14sin²2A)
      = RHS.

Proved.

24. Prove that: 

cos⁸A + sin ⁸A = 1 - sin²2A+ ¹/₈  sin⁴2A.

Proof: Here, 
LHS = cos⁸A + sin ⁸A 
        = (cos⁴A)² + (sin ⁴A)²
        = (cos⁴A - sin ⁴A)²+ 2cos⁴A.sin⁴A
        =[ ( cos²A + sin²A) ( cos²A - sin²A)]² + 2cos⁴A.sin⁴A
        = ( cos²A - sin²A)²  + 2cos⁴A.sin⁴A
        = cos²2A + 18 (2sinA.cosA)⁴
        = 1 - sin²2A + 18 sin⁴2A
        = RHS.

Proved.

25. Prove that:
sin5A = 16sin⁵A - 20sin³A + 5sinA.
Proof: 
We have,
Sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
Putting B = 4A we get
sin 5A = sin ( A + 4 A)
           = sin A cos 4A + cos A sin 4A
           = sin A (1- 2 Sin² 2A) + cos A .2Sin 2A cos 2A
           ( Since, putting cos 2x = 1 – 2 sin² x and sin 2x = 2 sin x cos x and x = 2A)
          = sin A(1- 8 Sin² A cos² A) + Cos A .4 Cos A sin A (1- 2 Sin² A)
     ( Since, putting cos 2x = 1 – 2 sin ² x and sin 2x = 2 sin x cos x and x = A)
          = sin A - 8 sin ³A (1-sin² A) + 4 sin A Cos²A(1- 2 sin² A)
          = sin A - 8 sin³ A + 8 Sin⁵ A + 4 sin A(1-sin²A)(1-2 Sin² A)
          = sin A - 8 sin³ A + 8 sin⁵ A + 4 sin A ( 1- 3 sin²A + 2 Sin⁴ A)
          = 5 sin A - 20 sin³A + 16 sin⁵A.
          = 16sin⁵A - 20sin³A + 5sinA.
          = RHS.
Proved.